ぽいぽいの「かきくけこ」

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債券 - 債券評価編

CFA level 1に役に立つかもしれないノート。CFAプログラムの内容を開示する意図はありません。あくまで私、ぽいぽいが個人用としてまとめたものをシェアしているだけなので、これによって損害を被ったとしても一切の責任は負いませんので注意してください。

目次

債券評価の基本

yield-to-maturity(最終利回り) = 確定利付債券を満期に償還したときの利回り、債券の価格はこれを割引率として決定する

Consider $1,000, 5%, 10-year annual-pay bond. Assuming the market rate is 7%, what is the price of the bond?

N = 10; I/Y = 7; PMT = 1,000×0.05 = 50; FV = 1,000
CPT; PV = -859.53

年2回払い債券の評価

Consider $1,000, 5%, 10-year semiannual-pay bond. Assuming the market rate is 7%, what is the price of the bond?

N = 10×2 = 20; I/Y = 7/2 = 3.5; PMT = 1,000×0.05/2 = 25; FV = 1,000
CPT; PV = -857.88

ゼロクーポン債の評価

Consider $1,000, 4.5-year, zero-coupon bond at annualized discount rate of 6%. With a periodicity of 2, the value of this bond is

N = 4.5×2 = 9; I/Y = 6/2 =3; PMT = 0; FV = 1,000
CPT; PV = 766.42

市場割引率の計算

Consider $1,000 5-year, 6% annual coupon bond priced at 976.28. Calculate the market discount rate.

N = 5; PMT = 60; PV = -976.28; FV = 1,000
CPT; I/Y = 6.57

市場割引率を計算するときの3つの仮定

  1. 満期まで保有
  2. 債務不履行・遅滞が無い
  3. クーポンを市場割引率で運用

価格の決定要因

利回りの減少(上昇)→価格の上昇(減少)
クーポンの減少(上昇)→価格の減少(上昇)

Convexity(凸性) = 利回りの上昇による価格の減少幅より利回りの減少による価格の上昇幅の方が大きい
Maturity effect = 長期の債券の方が利回りの影響を受けやすい
Coupon effect = 低いクーポンレートの方が利回りの影響を受けやすい

スポットレート

spot rate(スポットレート) = 将来支払われる単一の支払いを割り引く市場収益率、ゼロクーポン債の利回り

Value a 3-year, $1,000, 4% bond when Z1 =2%,Z2 =3%,Z3 =4%

40/(1.02) + 40/(1.03)2 + 1,040/(1.04)3 = 1,001.48

裸値段と利含み値段

Flat price / Clean price(裸値段) = 債券の経過利息を含まない値段
Full price / Dirty price(利含み値段) = 債券の経過利息を含む値段

Consider a $1,000 bond with 5% semiannual coupon paid on April 15 and October 15. YTM is 6%. Trade settles on July 9 and four coupons remain until maturity. What is the full price?

N = 4; I/Y = 3; PMT = 25; FV = 1,000
CPT; PV = -981.41
# of days between April 15 and October 15 = 183 days
Full price = 981.41 × (1.03)101/183 = 997.55

Consider a $1,000 bond with 5% semiannual coupon paid on April 15 and October 15. YTM is 6%. Trade settles on July 9 and four coupons remain until maturity(same bond as above). What is the flat price?

Accrued interest = 25 × (101/183) = 13.80
Flat price = Full price - Accrued price = 997.55 - 13.80 = 985.75

発生利息の計算方法

  1. Actual/actual method - 社債で使用
  2. 30/360 method - 公債で使用
A $1,000 par value bond with a 4% annual coupon paid on June 15. The trade settles on August 10. How much is the accrued interest?
Actual/actual method
(15+31+10)/365 × 40 = 6.14
30/360 method
(15+30+10)/360 × 40 = 6.11

マトリックス・プライシング

Matrix pricing = 同じ信用格付けの債券から債券の最終利回りを推定する手法、取引が頻繁にされず最終利回りが利用可能ではないときに使用

  1. 同じ満期の債券の最終利回りから平均をとる
  2. 異なる満期の債券を線形補間(Linear interpolation)を用いて調整

Estimate YTM for a non-traded 4-year, annual-pay bond rated A+ based on the following bonds rated A+: 2-year, YTM 5.1%
5-year, YTM 5.9%
5-year, YTM 6.3%

Average 5-year YTM = 6.1%
Interpolated 4-year YTM = 5.1% + (4 - 2)/(5 - 2)6.1% = 9.17%

新規発行の価格付け

Estimate the spread for a new 5-year bond. A rated bond, based on the following market yields: 4-year T-note: 1.32%, 4-year A rated: 2.38%
5-year T-note: 1.68%
6-year T-note: 2.01%, 6-year A rated: 3.40%

Spread to 4-year T-note: 1.06%
Spread to 6-year T-note: 1.39%
Interpolate 5-year spread: (1.06 + 1.39)/2 = 1.23%
5-year A rated yield = 1.23% + 1.68% = 2.91%

利回り

固定利付債

periodicity(周期性) = 1年の内にクーポンが支払われる回数
周期性を使ってannual yield(実効年利)は以下のように定義できる。
annual yield =(1+ YTM/n)n − 1

Street convention = クーポン支払日通りにクーポンが支払われた時の利回り
True yield = 週末や祝日等によるクーポン支払いの延期を考慮した際の債券利回り
Government equivalent bond = 社債を公債との比較を目的にactual/actual methodを用いた際の利回り

現行利回り

Current yield(現行利回り) = annual cash coupon payment/bond price、par valueへの値動きを考慮していない

Consider a 10-year, $1,000 par value, 4% semiannual-pay bond that is currently trading at a flat price of $907.64. Calculate the current yield.

Current yield = 40/907.64 = 4.41%

単純利回り

Simple yield(単純利回り) = ディスカウントやプレミアムの償却を加味した

Consider a 10-year, $1,000 par value, 4% semiannual-pay bond that is currently trading at a flat price of $907.64. Calculate the simple yield.

Discount = 1,000 - 907.64 = 92.36
Annual straight-line amortization of the discount = 92.36/10 = 9.236
Simple yield = (9.236 + 40)/907.64 = 5.42%

任意償還利回り

yield-to-call(任意償還利回り) = コールオプションを行使したときの利回り
yield-to-worst(最低利回り) = 最終利回りと任意償還利回りの中で最も低い利回り

Consider a 10-year, semiannual-pay 4% bond trading at 104 on January 1, 2014. The bond is callable according to the following schedule:
Callable at 104 on or after January 1, 2019.
Callable at 100 on or after January 1, 2022. Compute the bond's yield-to-maturity, yield-to-first call, yield-to-first par call, and yield-to-worst.

Yield-to-maturity: N = 20; PMT = 20; FV = 1,000; PV = –1,040;
CPT; I/Y = 2.25
YTM = 2.25% × 2 = 4.50%

Yield-to-first call: N = 10; PMT = 20; FV = 1,040; PV = -1,040;
CPT; I/Y = 1.92
Yield-to-first call = 1.92 × 2 = 3.85%

Yield-to-first par call: N = 16; PMT = 20; FV = 1,000; PV = -1,040
CPT; I/Y = 1.71%
Yield-to-first par call = 1.71% × 2 = 3.42%

Yield-to-worst: The lowest yield of three yields is 3.42%.

オプション調整利回り

Option-adjusted yield(オプション調整利回り) = オプションの価値を測定して債券価格に足し引きすることで得られる利回り、より正確な指標
コールオプションの時は価値を加算し、プットオプションの時は減算する。

変動利付債

次回のクーポンレートは前回の更新日時でのreference rate(参照レート)±quoted marginで決定する。
Required margin(必要マージン) = クーポンの更新日時において債券の価格をパーにする収益率
quoted margin > required margin ならば プレミアム
quoted margin < required margin ならば ディスカウント

Consider 6-year, $10,000 floating-rate note based on 180-day LIBOR. The quoted margin is 160bp. The current 180-day LIBOR is 3.0% and the note's required margin is 5%. What is the price of the note.

Next coupon rate = 3% + 1.6% = 4.6%
Next coupon payment = 10,000 × (4.6%/2) = 230
Required return(180 days) = 5%/2 = 2.5%
N = 12; I/Y = 2.5; PMT = 230; FV = 10,000
CPT; PV = -9794.84

短期金融資産

Bond equivalent yield(BEY) = add-on yieldベース、365-day yearを用いて算出される利回り、短期金融資産の利回りを測定するために使用

Calculate BEY for a $1,000 note with 180 days to maturity and an annualized discount of 1.6% based on a 360-day year.

Discount = 1.6% × 180/360 × $1,000 = $8
Current price = $1,000 – $8 = $992
Holding period return = $8 / $992 = 0.81% BEY = 0.81% × 365 / 180 = 1.64%

イールドカーブ

Yield curve(イールドカーブ) = 他の条件を固定したときの満期と利回りの関係を示した曲線

スポットイールドカーブ

Spot yield curve/Zero curve/Strip curve = ゼロクーポン国債イールドカーブ、満期とスポットレートの関係を示す
取引が盛んでは無いためクーポン付きの債券を用いて補完することがある。

クーポン債のイールドカーブ

様々な満期を持つ債券の利回りを示す。特定の満期は計算して算出されるが、その他の満期は線形補間を用いて計算される。満期が1年以下の債券の利回りは年2回の利払い債券に変換される。

パーカーブ

Par curve = スポットレートを所与として債券がパーとなるようなクーポンレートを満期ごとに計算し描かれたカーブ

フォワードイールドカーブ

Forward rate(フォワード・レート) = 将来の時点を起点とする期間に適用される金利、1y2yのように表記

フォワードレートの読み方

  • 1y1y = 1年後の1年金利
  • 1y2y = 1年後の2年金利
  • 3y2y = 3年後の2年金利
  • SN(ZN) = N年スポットレート

e.g. 3年スポットレートは以下の3通りで計算できる

  1. (1+S3)3 = (1 + S1)(1 + 1y1y)(1 + 2y1y)
  2. (1+S3)3 = (1 + S1)(1 + 1y2y)2
  3. (1+S3)3 = (1 + S2)2(1 + 2y1y)

スポットレートとフォワードレートの関係

スポットレートはフォワードレートの幾何平均で算出可能。

When S1 = 3%, 1y1y = 4%, 2y1y = 5%, what is the 3-year spot rate?

S3 = {(1.03)(1.04)(1.05)}1/3 - 1 = 4%

フォワードレートは幾何平均を逆算することでスポッドレートから算出できる。

When S2 = 5%, S4 = 7%, what is 2y2y?

2y2y = {(1.07)4/(1.05)2}1/2 - 1 = 9.04%

また、フォワードレートは債券評価にも使われる。

イールドスプレッド

Yield spread = Yield - Risk-free rate
主に無リスク利子率はマクロな要因、スプレッドはミクロな要因を反映する。

様々なスプレッド

  • G-spread = ベンチマークとなる満期一致の国債利回りとのスプレッド、アメリカ、日本、イギリスで使用
  • I-spread = 金利スワップレートとのスプレッド、ユーロ圏で使われる
    Iスプレッドの拡大は信用リスクの上昇を示す。
  • Z-spread = 債券の将来キャッシュフローの現在価値が債券価格と一致するような割引率と債券の満期利回りの差で求めたスプレッド
  • Option-adjusted spread(OAS, オプション調整後スプレッド) = Z-spread - オプション価値